GEOESTADÍSTICA

INTRODUCCIÓN

En el campo de las geociencias es comun que encontremos variables organizadas espacialmente. Para el estudio de estas variables son utilzados diversos procedimientos geoestadísticos de estimación y simulación. Esto es realizado a mediante un conjunto de muestras tomadas en localizaciones del dominio en que se manifiesta un fenómeno a estudiar y consideradas representativas de su realidad, que por lo general es siempre desconocida, estos procedimientos permiten la descripción o caracterización de las variables con dos fines diferentes, primero, proporcionar valores estimados en localizaciones de interés y segundo, generar valores que en conjunto presenten iguales características de dispersión que los datos originales. La geología y la minería es el campo típico para la aplicación de estos modelos, campo en el que surge y se desarrolla la Geoestadística como ciencia.

ORIGEN ESPECIFICO DE LA GEOESTADÍSTICA

La exploración y evaluación de yacimientos minerales útiles es una de las actividades fundamentales que toda empresa minera debe desarrollar durante su vida útil, destacándose entre otras tareas: el pronóstico científico en la localización de los yacimientos minerales útiles, la elaboración de métodos eficaces para la explo­ración y la evaluación geólogo económico de los yacimientos para su explotación. Todo esto condicionado al agotamiento de los recursos producto de la explotación y a las fluctuaciones de las cotizaciones del mercado. Los trabajos de búsqueda y exploración se dividen en estadios que son resultado de la aplicación de un principio importante del estudio del subsuelo, el Principio de Aproximaciones Sucesivas. Cada uno de los estadios culmina con la determinación lo más aproximada posible de los recursos minerales del yacimiento, actividad fundamental de las empresas geólogo - mineras conocida como cálculo de recursos y reservas.

El desarrollo de la minería ha traído unido el perfeccionamiento de los métodos de búsqueda de los minerales útiles, y los de la determinación de su cantidad y utilidad para la extracción, además, el mundo minero se hace cada vez más competitivo y las compañías necesitan evaluar su potencial económico. Existen actualmente dos formas de realizar el cálculo de reservas, los métodos clásicos y los modernos. Como clásicos se pueden destacar, el de “Bloques Geológicos” y el de “Perfiles Paralelos”, éstos se caracterizan por el uso de valores medios o media ponderadas de los contenidos de la exploración en bloques definidos convenientemente. Estos métodos son eficientes cuando la información disponible presenta determinada regularidad, pero en la práctica, la gran diversidad de formas en que se presentan los datos ha llevado a la utilización de técnicas matemáticas y estadísticas para resolver un único problema, estimar valores desconocidos a partir de los conocidos, para la estimación y caracterización de los recursos y reservas. En los últimos años muchas investigaciones se han desarrollado con este fin, existiendo mayor interés en las estimaciones a nivel local que a nivel global. Claro está, no existe un método por muy sofisticado que sea, que permita obtener resultados exactos.

Nuestro objetivo es hablar de los métodos más eficientes que proporcionen la mayor información posible de los datos disponibles, es decir, los modernos, de los que se pueden citar entre los geomatemáticos: El Inverso de la Distancia, Triangulación, Splines, etc. Aún más, buscando el mejor estimador que minimice la varianza del error de estimación surge la Geoestadística por los trabajos de G. Matheron en la Escuela Superior de Minas de París, basado en conceptos iniciales de trabajos de H.S. Sichel en 1947 y 1949, en la aplicación de la distribución lognormal en minas de oro, seguido por la famosa contribución de D.G. Krige en la aplicación del análisis de regresión entre muestras y bloques de mena. Estos trabajos fijaron la base de la Geoestadística Lineal, además, de la introducción de la teoría de funciones aleatorias por B. Matern en el estudio de la variación espacial de campos forestales. La Geoestadística se consolidó y desarrollo en los últimos 30 años como ciencia aplicada casi exclusivamente en el campo minero, la cual ha sido ampliamente usada, existiendo como ciencia aplicada que da respuesta a necesidades prácticas y concretas. Se reconoce como una rama de la estadística tradicional, que parte de la observación de que la variabilidad o continuidad espacial de las variables distribuidas en el espacio tienen una estructura particular, desarrollándose herramientas matemáticas para el estudio de estas variables dependientes entre si, llamadas según Matheron variables regionalizadas, quien elaboró su teoría como se presenta en Matheron (1970), Journel y Huijbregts (1978), David (1977) y de Fouquet (1996). En resumen, la aplicación de la teoría de los procesos estocásticos a los problemas de evaluación de reservas de distintos tipos de materias primas minerales y en general a las ciencias naturales en el análisis de datos distribuidos espacial y temporalmente dio origen a lo que hoy se conoce como Geoestadística.

GEOESTADÍSTICA, CONCEPTO

La Geoestadística se define como la aplicación de la Teoría de Funciones Aleatorias al reconocimiento y estimación de fenómenos naturales o como el estudio de las variables numéricas distribuidas en el espacio, siendo una herramienta útil en el estudio de estas variables . Su punto de partida es asumir una intuición topo-probabilista. Los fenómenos distribuidos en el espacio, la mineralización en un yacimiento mineral por ejemplo, presenta un carácter mixto, un comportamiento caótico o aleatorio a escala local, pero a la vez estructural a gran escala, como se muestra en la siguiente figura:



Se puede entonces sugerir la idea de interpretar este fenómeno en términos de Función Aleatoria (FA), es decir, a cada punto x del espacio se le asocia una Variable Aleatoria (VA) Z(x), para dos puntos diferentes x e y, se tendrán dos VAs Z(x) y Z(y) diferentes pero no independientes, y es precisamente su grado de correlación el encargado de reflejar la continuidad de la mineralización, o de cualquier otro fenómeno en estudio, de modo que el éxito de esta técnica es la determinación de la función de correlación espacial de los datos. Su estimador, El Krigeaje, tiene como objetivo encontrar la mejor estimación posible a partir de la información disponible, y en efecto, el valor estimado obtenido Z*(x) de un valor real y desconocido Z(x), consiste en una combinación lineal de pesos asociados a cada localización donde fue muestreado un valor Z(xi) (i = 1,…n) del fenómeno estudiado, observando dos condiciones fundamentales: 1.- que el estimador sea insesgado. E[Z* - Z] = 0, y 2.- que la varianza Var[Z* - Z] sea mínima, consiguiéndose de este modo minimizar la varianza de error de estimación.

A diferencia de otros métodos de interpolación, como por ejemplo el inverso de la distancia, el krigeaje utiliza en la estimación las características de variabilidad y correlación espacial del fenómeno estudiado, por lo que su uso implica un análisis previo de la información con el objetivo de definir o extraer de esta información inicial un modelo que represente su continuidad espacial. Una vez logrado, estamos en condiciones de obtener el mejor valor posible en cada localización o bloque a estimar a partir de los datos medidos, acompañada de la varianza de krigeaje como medida del error de la estimación realizada, lo que distingue al krigeaje de otros métodos de interpolación.

VARIABLES ALEATORIAS REGIONALIZADAS

Continuando con el caso minero, la información inicial para realizar el cálculo de reservas es el resultado del análisis de los testigos de perforación, o muestras de afloramiento, obtenido en los laboreos de exploración, que como una variable aleatoria puede tomar cualquier valor dentro de un rango determinado. Esta es la característica fundamental que distingue a este tipo de variable, además de su valor, una posición en el espacio, hecho éste al que Matheron denominó Variable Aleatoria Regionalizada, la cual está presente en la mayor parte de los estudios geológicos (Pawlowsky et al., 1995) y fenómenos naturales. Al respecto en Journel y Huijbregts (1978) y David (1977) se dedica el capítulo II y V respectivamente a la teoría de la variable regionalizada. Capítulos donde se presentan los conceptos fundamentales de la Geoestadística, en la que particularmente Journel y Huijbregts (1978) plantea que la definición de variable regionalizada como una variable distribuida en el espacio es puramente descriptiva y envuelve una interpretación probabilística, refiriéndose a que, desde el punto de vista matemático una variable regionalizada es simplemente una función f(x) que toma valores en todos los puntos x de coordenadas (xi, yi, zi) en el espacio tridimensional. Sin embargo, es muy frecuente que estas funciones varíen tan irregularmente en el espacio que impiden un estudio matemático directo, y se hace necesario realizar un análisis de variabilidad de la información disponible, sugiriendo un estudio profundo de la función variograma como veremos más adelante.

En términos teóricos es oportuno aclarar que una variable aleatoria (VA) es una variable que puede tomar ciertos valores de acuerdo a cierta distribución de probabilidades. Un valor medido en cada punto xi es considerado como una realización z(xi) de una VA Z(xi) cuya media es m(xi). En los puntos x donde no existen valores medidos es desconocida la propiedad que se estudia, pero están bien definidos y pueden asimismo considerarse variables aleatorias Z(x). Al conjunto de todas las mediciones z(x) en el área de estudio de la variable regionalizada puede considerarse como una realización particular del conjunto de VAs (Z(x), x Î área de estudio). A este conjunto de VAs se llama Función Aleatoria y se escribe Z(x). De modo que al extender el concepto de función aleatoria al espacio de una o más dimensiones, aparece la noción aleatoria y estructural de una variable regionalizada: primero Z(x) como VA y segundo que las VAs Z(x) y Z(x+h) no son en general independientes, si no que están relacionadas por la estructura espacial de la variable regionalizada original Z(x).

CONCEPTOS DE VARIABLE ALEATORIA REGIONALIZADA

En el estudio de las variables aleatorias regionalizadas es importante presentar conceptos que se señalan en Journel y Huijbregts (1978) y David (1977) y que son utilizados por la mayoría de los autores donde se aplican los métodos geoestadísticos como herramienta fundamental de trabajo.
Estos conceptos son:

Región: se refiere al espacio en el cual existe y se estudia el fenómeno natural.

Localización: Es el punto de una región en la cual se define una variable aleatoria regionalizada.
Soporte Geométrico: Está determinado por el elemento físico sobre el cual se realiza la determinación de la variable aleatoria regionalizada, esto no es más que la muestra unitaria, sobre la cual estudiaremos el atributo de interés.
Momentos de primer orden:
Si la función de distribución de Z(xi) tiene una media definida, será una función de la localización xi. m(xi) = E{Z(xi)}
Momento de segundo orden:
Si la varianza (Var) de Z(xi) existe, entonces se define como el momento de segundo orden y será también una función de la localización xi.
Var {Z(xi)} = E{[Z(xi) - m(xi)] 2}
Si la varianza de las variables Z(xi) y Z(xj) existe entonces la covarianza (Cov) de las éstas también existe y es función de las localizaciones xi y xj.
Cov[Z(xi), Z(xj)] = E{[Z(xi) - m(xi)][Z(xj) - m(xj)]}
si xi = xj ; Cov[Z(xi), Z(xj)] = Var {Z(xi)}
La función variograma o función estructural se define como la varianza de la diferencia Z(xi) - Z(xj).
Var{Z(xi) - Z(xj)} = 2g(xi, xj}
la magnitud g(xi, xj} = ½ Var{Z(xi) - Z(xj)} se denomina semivariograma.

También se puede definir el correlograma estandarizando, la covarianza para los valores xi - xj = h = 0 como: r (h) = C(h)/C(0) -1 £ r £ 1
donde: C(h) es la covarianza a la distancia h,
C(0) es la covarianza en el origen.

Existen relaciones entre estas medidas de correlación:
g(h} = C(0) - C(h) con g(0) = 0
r (h) = 1 - g(h)/C(0)